** Projeté orthogonal d'un point sur une droite (1)

1. Tracer un repère orthonormé \(\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)\) du plan.
On considère les points \(\text{A}(-3~;-1),~ \text{B}(-1~;2)\) et \(\text{C}(1~;-1)\).
Placer les points \(\text{A}, \text{B}\) et \(\text{C}\) dans ce repère.
Compléter la figure au fur et à mesure de l'exercice.

2. a. Soit \(\text{E}\) le milieu de \([\text{AC}]\). Calculer les coordonnées de \(\text{E}\).
    b. On admet que \(\text{F}(-1~;-1)\) est le milieu de \([\text{BD}]\). Que peut-on dire du quadrilatère \(\text{ABCD}\) ?

4. a. Calculer les longueurs \(\text{AB}\), \(\text{AE}\) et \(\text{BE}\).
    b. Démontrer que le triangle \(\text{ABE}\) est rectangle en \(\text{E}\).

5. Quelle est la nature du quadrilatère \(\text{ABCD}\) ?

6. Soit \(\text{H}\) le projeté orthogonal de \(\text{C}\) sur la droite \((\text{AB})\).
    a. Placer le point \(\text{H}\) sur la figure.
    b. Justifier que l’aire \(\mathcal{A}\) du triangle \(\text{ABC}\) est égale à 6 unités d’aire.
    c. En déduire la distance \(\text{CH}\).